Nii nagu molekulid koosnevad aatomitest, saab matemaatikas iga naturaalarvu jaotada oma primaarfaktoriteks - need, mis on jagatavad ainult iseendaga ja 1. Matemaatikud tahavad mõista, kuidas primaarvud on jaotunud mööda arvjoonist, lootuses avastada aritmeetika aatomite korraldusprintsiip.
„Esmapilgul näevad need üsna juhuslikud välja,“ ütleb Oxfordi ülikooli matemaatik James Maynard. „Aga tegelikult arvatakse, et algarvude sees on see varjatud struktuur.“
165 aastat on matemaatikud seda struktuuri otsides keskendunud Riemanni hüpoteesile. Selle tõestamine pakuks Rosetta kivi algarvude dekodeerimiseks - ja ka 1 miljoni dollari suuruse auhinna Clay matemaatika instituudilt. Nüüd on Maynard ja Larry Guth Massachusettsi Tehnoloogiainstituudist astunud 31. mail veebis avaldatud preprintis sammu selles suunas, välistades teatud erandid Riemanni hüpoteesist. Tulemus ei võida tõenäoliselt rahapreemiat, kuid see kujutab endast esimest edu aastakümnete jooksul matemaatika suurima lahendamata probleemi suures sõlmes ja lubab vallandada uusi edusamme kogu arvuteoorias.
„See on sensatsiooniline läbimurre,“ ütleb Rutgersi ülikooli matemaatik Alex Kontorovich. „Selles tõestuses on hulk uusi ideid, mida inimesed hakkavad aastaid kaevandama.“
Järgmise algarvu täpse asukoha ennustamine on keeruline, kuid algarvude kumulatiivse hulga kirjeldamine suurtel ajavahemikel on üllatavalt lihtne. 1700. aastate lõpus, 16-aastaselt, nägi saksa matemaatik Carl Friedrich Gauss, et algarvude sagedus näib vähenevat, kui need muutuvad suuremaks, ja väitis, et need skaleeruvad lihtsa valemi järgi: X-st väiksem või sellega võrdne algarvude arv on ligikaudu X jagatud X-i naturaallogaritmiga. Gaussi hinnang on muljetavaldavalt hästi vastu pidanud. Nii palju kui matemaatikud oskavad öelda, kõigub tegelik arvuarv pisut üle ja alla selle kõvera kuni lõpmatuseni. See, et teadaolevad arvud järgivad nii täpselt nii lihtsat valemit, näitab, et arvud ei ole täiesti juhuslikud; nende esinemise kohta peavad olema mingid sügavad seosed.
Kuid matemaatikud tahavad täpselt teada, kui hästi Gaussi oletus peab paika - ja miks. 1859. aastal otsis Bernhard Riemann, teine tuntud saksa matemaatik, abi teisest funktsioonist, mida nüüd nimetatakse Riemanni zeta-funktsiooniks. Sisendiks võtab see funktsioon kompleksarvud, mis on kombinatsioon reaalarvudest ja sellest, mida matemaatikud nimetavad „imaginaarseteks“: tavaline arv korrutatud ruutjuurega -1. See funktsioon näib tabavat Gaussi kõvera ja reaalarvude jaotuse erinevusi. Kohad, kus Riemanni funktsioon võrdub nulliga - mida nimetatakse zeta-nullideks - kirjeldavad otseselt Gaussi kõvera ümber esinevaid kõikuvaid vigu.
Siin tegi Riemann oma kuulsa oletuse: kui jätta kõrvale teatavad triviaalsed lahendused negatiivsete sisendite puhul, peaksid kõik zeta-nullid eksisteerima sisendite puhul, mille reaalosa on pool. Kui tema hüpotees vastab tõele, tähendab see, et näiliselt juhuslikud kõikumised arvude arvude arvukuses on piiratud, nii et nende jaotuses piki arvjoonist ei jää suuri klombinaid ega lünki. Iga Riemanni hüpoteesi tõestus oleks aken salajasse kellavärgisüsteemi, mis reguleerib arvude ebakorrapäraseid mustreid. See annaks võimaluse „pöördtehnoloogiliseks muundamiseks priimuste juhusliku numbrigeneraatori,“ ütleb Maksym Radziwill, matemaatik Northwesterni ülikooli matemaatik.
Praeguseks on matemaatikud arvutitega testinud rohkem kui 10 triljonit mittetriviaalset zeta-nulli - ja need kõik asuvad täpselt pooles. Kuid ükski empiiriline tõend ei rahulda matemaatikuid: Nad tahavad formaalset tõestust, et nullid ei saa kunagi kusagil mujal asuda. Kuigi keegi ei kahtle, et Riemanni hüpotees on vale, „tõestus annab palju enamat kui lihtsalt väite tõesus,“ ütleb Maynard. „See annab arusaama, miks see tõene on, nii et teil on mingi võimas uus tehnika algarvude mõistmiseks.“
Pärast 165 aastat on matemaatikud endiselt „täiesti hämmingus“, kuidas nad võiksid Riemanni hüpoteesi tõestada, ütleb Maynard. „Meil ei ole isegi usutavat ründeliini.“ Nii et nad on pöördunud probleemi väiksemate killaste võtmise poole, määrates kindlaks, kus zeta nullid ei saa olla.
Matemaatikud teavad juba, et mittetriviaalsed zeta-nullid jäävad vahemikku 0 ja 1. Nad teavad ka peegelsümmeetriat poole ümber, mille puhul zeta-nullide välistamine kolmveerandi juures välistaks need ka ühe neljandiku juures. Seega keskendusid mõned meetodid piirkonnale poolteisest kuni kolmveerandini, samas kui teised töötasid paremini kolme veerandi ja 1 vahel. See jättis väikese, kuid murettekitava võimaluse, et paljud nullid võivad olla peidus just kolme veerandi juures.
Parim piir selle kohta, kui palju nulle võib olla kolmveerandi juures, tuli 1940. aastal Briti matemaatikult Albert Inghamilt. Pärast seda ei ole keegi paremini teinud. „See oli natuke ennekuulmatu, et seda [piirmäära] ei saanud alandada,“ ütleb Radziwill. „Põhimõtteliselt ei töötanud keegi selle kallal, sest kõik andsid alla.“
Välja arvatud Maynard, 37-aastane virtuoos, kes on spetsialiseerunud analüütilisele arvuteooriale, mille eest ta võitis 2022. aastal Fieldsi medali - matemaatika kõige prestiižsema auhinna. Pühendatud reede pärastlõunastel mõtlemissessioonidel on ta viimase kümne aasta jooksul ikka ja jälle probleemi juurde tagasi pöördunud, kuid tulutult. Ameerika Matemaatikaühingu 2020. aasta kohtumisel palus ta abi Guthilt, kes on spetsialiseerunud harmoonilise analüüsi nime all tuntud tehnikale, mis tugineb füüsika ideedele helide eraldamiseks nende koostisosaks olevateks nootideks. Ka Guth istus probleemi kallal paar aastat. Vahetult enne loobumist tabasid ta ja Maynard pausi. Laenates taktikat oma vastavatest matemaatilistest dialektidest ja vahetades ideid hilisõhtuni öösel e-posti ahelas, tegid nad mõned ebatavalised käigud, et lõpuks Inghami piirid murda.
Radziwill ütleb, et töö kujutab endast esimest uut ideed zeta-nullide jahtimisel 50 aasta jooksul. „See võib tegelikult taaskäivitada valdkonna, mis oli pikka aega tõesti unarusse jäetud,“ ütleb ta. „Ma mõtlen, et võib toimuda renessanss.“
Parandatud piir ei aita matemaatikutel Riemanni hüpoteesi tõestamist üldiselt. Kuid Radziwill ja Kontorovich loodavad, et tulemus levib kogu arvuteoorias. Uus piirang võimaldab matemaatikutel näiteks kohe paremini hinnata arvu algarvude arvu lühemates intervallides.
Kuid tegelik mõju peitub manöövrites, mis võimaldasid Guthil ja Maynardil tõkke murda, värsketes tööriistades, mis võivad olla rakendatavad ka väljaspool algarvuteooriat, ütleb Radziwill. Ta arvab, et uued strateegiad võivad aidata lihtsustada mõningaid tema varasemaid töid dünaamiliste süsteemide kohta ning need võivad aidata ka teise pikaajalise oletuse puhul, mida tuntakse Kakeya probleemina, kus nihkuv nõel pöörleb ümber 360°, joonistades keerulisi ring- või deltakujusid, kattes samal ajal võimalikult väikese pindala. Guth on aga kõige enam vaimustuses nende ideede kasutamisest, et uurida sügavamat seost lainete füüsika ja arvukogumite jaotuse vahel.
Tagasi vaadates tuletab Guth meelde tsitaati Austria luuletajalt Rainer Maria Rilkelt, kes õpetab ambitsioonikat luuletajat „elama küsimusi“, mitte otsima vastuseid. Guthi jaoks kõlab see strateegia, mille kohaselt ta ei tunne end mugavalt ebamugavalt lahendamatute probleemidega, kokku tema kogemusega matemaatikuna.
„Ma ei looda üldse, et suudan lahendada Riemanni hüpoteesi,“ ütleb ta. „Aga me loodame, et millegi üle mõtisklemine, mida me ei mõista, aitab leida midagi, mis on ilus või võib-olla isegi kasulik.“
Lisateave: https://www.science.org/content/article/sensational-breakthrough-marks-step-toward-revealing-hidden-structure-prime-numbers
